Question

8．过抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且A，B两点的纵坐标之积为-4．
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知点D的坐标为（4，0），若过D和B两点的直线交抛物线C的准线于P点，求证：直线AP与x轴交于一定点．

Answer 1

分析 （1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设直线AB的方程为x=my+$\frac{p}{2}$，联立方程组，根据A，B两点的纵坐标之积为-4，即可求出p的值，
（2）表示出直线BD的方程可表示为，y=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-4}$（x-4）①，抛物线C的准线方程为，x=-1②，构成方程组，解得P的坐标，求出直线AP的斜率，得到直线AP的方程，求出交点坐标即可．

解答 解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
设直线AB的方程为x=my+$\frac{p}{2}$
与抛物线的方程联立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{x=my+\frac{p}{2}}\end{array}\right.$，得y²-2mpy-p²=0，
∴y₁•y₂=-p²=-4，
解得p=±2，
∵p＞0，
∴p=2，

（2）依题意，直线BD与x轴不垂直，∴x₂=4．
∴直线BD的方程可表示为，y=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-4}$（x-4）①
∵抛物线C的准线方程为，x=-1②
由①，②联立方程组可求得P的坐标为（-1，-$\frac{5{y}_{2}}{{x}_{2}-4}$）
由（1）可得y₁y₂=-4，
∴P的坐标可化为（-1，$\frac{5{y}_{1}}{1-{y}_{1}^{2}}$），
∴k_AP=$\frac{\frac{5{y}_{1}}{1-{y}_{1}^{2}}-{y}_{1}}{-1-{x}_{1}}$=$\frac{4{y}_{1}}{{y}_{1}^{2}-1}$，
∴直线AP的方程为y-y₁=$\frac{4{y}_{1}}{{y}_{1}^{2}-1}$（x-x₁），
令y=0，可得x=x₁-$\frac{{y}_{1}^{2}-1}{4}$=$\frac{1}{4}{y}_{1}^{2}$-$\frac{{y}_{1}^{2}-1}{4}$=$\frac{1}{4}$
∴直线AP与x轴交于定点（$\frac{1}{4}$，0）．

点评 本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查直线过定点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．