Question

20．已知α是三角形的最大内角，且cos2α=$\frac{1}{2}$，则$\frac{1-tanα}{1+tanα}$的值为（　　）

• A． 2-$\sqrt{3}$
• B． 2+$\sqrt{3}$
• C． 3-$\sqrt{3}$
• D． 3+$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 法1：由题意可得$\frac{π}{3}$＜α＜π，可求2α的范围，结合cos2α=$\frac{1}{2}$＞0，可解得范围$\frac{3π}{4}$＜α＜π，由二倍角的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式可求tan²α=$\frac{1}{3}$，即可解得tanα的值，即可计算求$\frac{1-tanα}{1+tanα}$的值．
法2：由二倍角的余弦函数公式可求sinα=$\frac{1}{2}$，结合α为最大内角，可得：α=$\frac{5π}{6}$，可求tanα，即可得解．

解答 解：法1：∵α是三角形的最大内角，
∴$\frac{π}{3}$＜α＜π，$\frac{2π}{3}$＜2α＜2π，
∵cos2α=$\frac{1}{2}$＞0，
∴$\frac{3π}{2}$＜2α＜2π，解得：$\frac{3π}{4}$＜α＜π，
∴tanα＜0，
∵cos2α=$\frac{co{s}^{2}α-si{n}^{2}α}{co{s}^{2}α+si{n}^{2}α}$=$\frac{1-ta{n}^{2}α}{1+ta{n}^{2}α}$=$\frac{1}{2}$，解得：tan²α=$\frac{1}{3}$，即：tanα=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{1-tanα}{1+tanα}$=$\frac{1-（-\frac{\sqrt{3}}{3}）}{1+（-\frac{\sqrt{3}}{3}）}$=2$+\sqrt{3}$．
法2：∵α为三角形内角，且cos2a=$\frac{1}{2}$，
∴1-2sin²α=$\frac{1}{2}$，可得：sinα=$\frac{1}{2}$，
∵α为最大内角，可得：α=$\frac{5π}{6}$，
∴tanα=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{1-tanα}{1+tanα}$=$\frac{1-（-\frac{\sqrt{3}}{3}）}{1+（-\frac{\sqrt{3}}{3}）}$=2$+\sqrt{3}$．
故选：B．

点评 本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式，余弦函数的图象和性质在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．