Question

10．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{3x-y-3≤0}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为6，则a²+b²的最小值为（　　）

• A． $\frac{12}{17}$
• B． $\frac{36}{13}$
• C． $\frac{6\sqrt{13}}{13}$
• D． $\frac{7\sqrt{13}}{13}$

Answer 1

分析 作出可行域，根据目标函数的斜率得出最优解，得出a，b的关系，将a²+b²表示成b的二次函数解出最小值．

解答 解：作出约束条件表示的可行域如图所示：
由z=ax+by得y=-$\frac{ax}{b}+\frac{z}{b}$，
∵a＞0，b＞0，
∴直线y=-$\frac{ax}{b}+\frac{z}{b}$经过点A时截距最大，即z取得最大值．
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{3x-y-3=0}\end{array}\right.$得A（2，3）．
∴2a+3b=6，
∴a=3-$\frac{3b}{2}$．
∴a²+b²=$\frac{13}{4}{b}^{2}$-9b+9=$\frac{13}{4}$（b-$\frac{18}{13}$）²+$\frac{36}{13}$．
∴当b=$\frac{18}{13}$时，a²+b²取得最小值$\frac{36}{13}$．
故选B．

点评 本题考查了简单的线性规划，二次函数的最值，属于中档题．