Question

【题目】对同学们而言，冬日的早晨离开暖融融的被窝，总是一个巨大的挑战，而咬牙起床的唯一动力，就是上学能够不迟到．己知学校要求每天早晨7:15之前到校，7:15之后到校记为迟到．小明每天6:15会被妈妈叫醒起味，吃早餐、洗漱等晨间活动需要半个小时，故每天6:45小明就可以出门去上学．从家到学校的路上，若小明选择步行到校，则路上所花费的时间相对准确，若以随机变量（分钟）表示步行到校的时间，可以认为．若小明选择骑共享单车上学，虽然骑行速度快于步行，不过由于车况、路况等不确定因素，路上所需时间的随机性增加，若以随机变量（分钟）描述骑车到校的时间，可以认为．若小明选择坐公交车上学，速度很快，但是由于等车时间、路况等不确定因素，路上所需时间的随机性进一步增加，若以随机变量（分钟）描述坐公交车到校所需的时间，则可以认为．

（1）若某天小明妈妈出差没在家，小明一觉醒来已经是6:40了，他抓紧时间洗漱更衣，没吃早饭就出发了，出门时候是6:50．请问，小明是否有某种出行方案，能够保证上学不迟到？小明此时的最优选择是什么？

（2）已知共享单车每20分钟收费一元，若小明本周五天都骑共享单车上学，以随机变量表示这五天小明上学骑车的费用，求的期望与方差（此小题结果均保留三位有效数字）

已知若随机变量，则％，％，％．

Answer 1

【答案】（1），三种方案都无法满足原则，不能保证上学不迟到．相对而言，骑车到校不迟到的概率最高，是最优选择（2）（元），（元2）

【解析】

（1）依题意，小明需要在25分钟内到达学校．若他选择步行到校，则不迟到的概率记为，求出％．若骑车到校，则不迟到概率记为，

（％，％），若坐公交车到校，则不迟到的概率记为，

％．比较即可做出选择；（2）取随机变量表示五天里骑车上学时间单程超过20分钟的天数．先求出和，再求的期望与方差.

（1）依题意，小明需要在25分钟内到达学校．

若他选择步行到校，则不迟到的概率记为，取，，

则，，

％．

若骑车到校，则不迟到的概率记为，取，，

则，，，

则％，

％，

∴（％，％）

若坐公交车到校，则不迟到的概率记为，取，，

则，，％．

综上，三种方案都无法满足原则，不能保证上学不迟到．相对而言，骑车到校不迟到的概率最高，是最优选择．

（2）取随机变量表示五天里骑车上学时间单程超过20分钟的天数．

依题意，每天骑车上学时间超过20分钟的概率为％，

∴，∴％，

％．

又∵，

∴（元），（元2）