Question

【题目】已知椭圆，直线l不经过坐标原点O且不平行与坐标轴，l与相交于A，B两点，线段的中点为M.

（1）证明：直线的斜率与直线l的斜率的乘积为定值；

（2）若直线l过点，延长线与交于点P，若四边形是平行四边形，求直线l的斜率；

Answer 1

【答案】(1) 直线的斜率与直线l的斜率的乘积为定值；(2)

【解析】

(1)设点,再代入椭圆方程,相减后即可求得的斜率与中点与的斜率.再化简证明乘积为定值即可.

(2) 点,再根据四边形是平行四边形可得在椭圆上,进而求得的关系,再设直线的方程,联立椭圆方程求代入关系化简即可.

(1) 设且,则,①②,

①-②得：,,

.又,

故,,

故直线的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.

(2)由题,因为四边形是平行四边形,故,设则.又 ,且.

故,化简得.

当直线斜率为0时, 四边形不是平行四边形.

故设直线的方程,则.

故,又 ..

故,故,.

故此时求直线l的斜率为