Question

【题目】已知抛物线的焦点为.

(1)过点的直线与抛物线相交于两点，若，求直线的方程；

(2)点是抛物线上的两点，点的纵坐标分别为1，2，分别过点作倾斜角互补的两条直线交抛物线于另外不同两点，求直线的斜率.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)

【解析】

（1）设直线的方程为，将直线与抛物线联立消去，根据韦达定理可得，，再由抛物线定义可得即可求解.

（2）求出点的坐标为，点的坐标为，分类讨论①当两条直线的倾斜角都为时，②当两条直线的倾斜角都不为时，设直线的方程与设直线的方程，分别将直线与抛物线联立，利用韦达定理，整理化简即可求出直线的斜率.

（1）设直线的方程为，点的坐标分别为，，

联立方程，消去整理为，则，，

所以，

由抛物线定义可得，，所以，

解得：，

故直线的方程为，即.

（2）由题意知，点的坐标为，点的坐标为，

①当两条直线的倾斜角都为时，点的坐标为，点的坐标为

此时直线的斜率为，

②当两条直线的倾斜角都不为时，设点的坐标为，点的坐标为，

此时直线的斜率为，

设直线的方程为，

联立方程消去整理为，则，得，

设直线的方程为，

联立方程消去整理为，

则，得，

所以，可得，

故直线的斜率为，

综上，可得直线的斜率为.