Question

3．对于函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-2ax+4）
（1）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）若f（x）的值域为R，求实数a的取值范围；
（3）若f（x）的值域为（-∞，-1]，求实数a的值；
（4）若f（x）在（-∞，1]上递增，求数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令x²-2ax+4＞0恒成立，列出不等式解出；
（2）令（0，+∞）为y=x²-2ax+4的值域的子集，列不等式解出；
（3）令y=x²-2ax+4的最小值等于2，列方程解出；
（4）令y=x²-2ax+4在（-∞，1]恒大于0且单调递减，列不等式组解出．

解答 解：（1）∵f（x）的定义域为R，∴x²-2ax+4＞0恒成立，
∴△=4a²-16＜0，解得-2＜a＜2．
（2）∵f（x）的值域为R，∴（0，+∞）为y=x²-2ax+4的值域的子集．
∴△=4a²-16≥0，解得a≤-2或a≥2．
（3）∵f（x）的值域为（-∞，-1]，
∴log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-2ax+4）≤-1．即x²-2ax+4≥2恒成立，
∴y=x²-2ax+4的最小值为2．即$\frac{16-4{a}^{2}}{4}$=2，解得a=$±\sqrt{2}$．
（4）∵f（x）在（-∞，1]上递增，
∴y=x²-2ax+4在（-∞，1]上递减，且y=x²-2ax+4在（-∞，1]上恒大于0．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≥1}\\{5-2a＞0}\end{array}\right.$，解得1＜a＜$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了复合函数的单调性，二次函数的性质，属于中档题．