【题目】如甲图所示,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E是CD的中点,将△ADE沿AE折起到△D1AE位置,使平面D1AE⊥平面ABCE,得到乙图所示的四棱锥D1﹣ABCE.
(Ⅰ)求证:BE⊥平面D1AE;
(Ⅱ)求二面角A﹣D1E﹣C的余弦值.
【答案】证明:(Ⅰ)如图,取AE中点F,连D1F, 在△AD1E中,∵D1A=D1E=2,∴D1F⊥AE,
又∵平面D1AE⊥平面ABCE,∴D1F⊥平面ABCE,
∵BE平面ABCE,∴D1F⊥BE.
在△ABE中,可得 ,BE=2
,AB=4,
∴BE⊥AE,又∵D1F∩AE=F,
∴BE⊥平面D1AE;
(Ⅱ)解:由题意,取AB中点G,以E为坐标原点,分别以EG,EC为x,y轴正方向建立空间直角坐标系E﹣xyz.
如图所示,则E(0,0,0),C(0,2,0)D1(1,﹣1, ),B(2,2,0),
由(Ⅰ)知: 是平面AD1E的法向量,
设平面CED1的法向量为 ,则
,令z=1,则x=﹣
,y=0,
∴ ,
设二面角A﹣D1E﹣C的平面角为θ,
则|cosθ|=|cos< >|=|
|=
.
由图可知,二面角A﹣D1E﹣C的平面角为钝角,
∴cos ,
即二面角A﹣D1E﹣C的余弦值为 .
【解析】(Ⅰ)取AE中点F,连D1F,求解三角形可得D1F⊥AE,又平面D1AE⊥平面ABCE,利用面面垂直的性质可得D1F⊥平面ABCE,从而得到D1F⊥BE.在△ABE中,可得BE⊥AE,再利用线面垂直的判定可得BE⊥平面D1AE;(Ⅱ)由题意,取AB中点G,以E为坐标原点,分别以EG,EC为x,y轴正方向建立空间直角坐标系E﹣xyz.求出所用点的坐标,得到平面AD1E与平面CED1的法向量.利用两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣D1E﹣C的余弦值.
【考点精析】通过灵活运用直线与平面垂直的判定,掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想即可以解答此题.
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【题目】若函数 ,为了得到函数g(x)=sin2x的图象,则只需将f(x)的图象( )
A.向右平移 个长度单位
B.向右平移 个长度单位
C.向左平移 个长度单位
D.向左平移 个长度单位
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【题目】某工厂生产某种产品的产量x(吨)与相应的生产成本y(万元)有如下几组样本数据:
x | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.5 | 3.1 | 3.9 | 4.5 |
据相关性检验,这组样本数据具有线性相关关系,通过线性回归分析,求得到其回归直线的斜率为0.8,则当该产品的生产成本是6.7万元时,其相应的产量约是( )
A.8
B.8.5
C.9
D.9.5
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【题目】在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,a,b,c成等比数列,且a2﹣c2=ac﹣bc.
(Ⅰ)求∠A的大小;
(Ⅱ)若a= ,且sinA+sin(B﹣C)=2sin2C,求△ABC的面积.
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【题目】已知函数f(x)=m﹣|x﹣2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[﹣3,3].
(Ⅰ)解不等式:f(x)+f(x+2)>0;
(Ⅱ)若a,b,c均为正实数,且满足a+b+c=m,求证: ≥3.
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【题目】某地要建造一个边长为2(单位:km)的正方形市民休闲公园OABC,将其中的区域ODC开挖成一个池塘,如图建立平面直角坐标系后,点D的坐标为(1,2),曲线OD是函数y=ax2图象的一部分,对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+b(k>0)的图象,与线段DB交于点N(点N不与点D重合),且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P,四边形MABN为绿化风景区:
(1)求证:b=﹣ ;
(2)设点P的横坐标为t,①用t表示M、N两点坐标;②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S(t),并求S的最大值.
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【题目】有甲、乙两个班级进行数学考试,按照大于等于120分为优秀,120分以下为非优秀统计成绩后,得到如下2×2列联表:(单位:人).
优秀 | 非优秀 | 总计 | |
甲班 | 10 | ||
乙班 | 30 | ||
总计 | 105 |
已知在全部105人中随机抽取1人成绩是优秀的概率为 ,
(1)请完成上面的2 x×2列联表,并根据表中数据判断,是否有95%的把握认为“成绩与班级有关系”?
(2)若甲班优秀学生中有男生6名,女生4名,现从中随机选派3名学生参加全市数学竞赛,记参加竞赛的男生人数为X,求X的分布列与期望. 附:K2=
P(K2≥k) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.010 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
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