Question

关于x的不等式|tx-2|-|tx-t|≤1，其中t是实参数．
（1）当t=1时，解上面的不等式．
（2）若?x∈R，上面的不等式均成立，求实数t的范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,函数恒成立问题

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）当t=1时，利用绝对值不等式性质可得|x-2|-|x-1|≤|（x-2）-（x-1）|=1恒成立，从而可得x∈R；
（2）利用绝对值不等式的几何意义知，|tx-2|-|tx-t|≤|（tx-2）-（tx-t）|=|t-2|，依题意，解不等式|t-2|≤1，即可求得实数t的范围．

解答： 解：（1）当t=1时，|tx-2|-|tx-t|=|x-2|-|x-1|≤|（x-2）-（x-1）|=1恒成立，故x∈R；
（2）因为|tx-2|-|tx-t|≤|（tx-2）-（tx-t）|=|t-2|，
所以，?x∈R，上面的不等式均成立?|t-2|≤1，解得1≤t≤3，
所以实数t的取值范围为[1，3]．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查等价转化思想与恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．