Question

直线l过点P（2，4）且与抛物线y²=8x有且只有一个公共点，求直线方程．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：因为点（2，4）在抛物线y²=8x上，所以过点（2，4）且与抛物线y²=8x只有一个公共点有两种情况：过点（2，4）且与抛物线y²=8x相切或过点（2，4）且平行与对称轴．由此能求出直线方程．

解答： 解：∵点（2，4）在抛物线y²=8x上，
∴过点（2，4）且与抛物线y²=8x只有一个公共点时只能是：
i）过点（2，4）且与抛物线y²=8x相切，
此时设直线方程为：y=k（x-2）+4，
代入抛物线，得：[k（x-2）+4]²=8x，
整理，得：k²x²+（8k-4k²-8）x+4k²-16k+16=0，
∵方程只有一个根，∴x₁=x₂=2，
∴

4k2-8k+8

k2

=4，解得k=1，
∴直线方程为：y=x+2，即x-y+2=0．
ii）过点（2，4）且平行与对称轴．
此时直线方程为y=4．
综上所述，满足条件的直线方程为：x-y+2=0或y=4．

点评：本题考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意抛物线性质的灵活运用．