Question

13．已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点．
（1）求证：AF∥平面PEC；
（2）求证：平面PEC⊥平面PDC．

Answer 1

分析 （1）取PC中点G，连接FG、EG，可证四边形AEGF为平行四边形，可得AF∥EG，由线面平行的判定定理可得；
（2）由线面垂直的判定定理可证AF⊥平面PCD，进而可得EG⊥平面PCD，由面面垂直的判定定理可得．

解答 证明：（1）取PC中点G，连接FG、EG，
在△PCD中由中位线可得FG∥CD且FG=$\frac{1}{2}$CD，
又AE∥CD且AE=$\frac{1}{2}$CD，∴FG∥AE且FG=AE，
∴四边形AEGF为平行四边形，∴AF∥EG，
又AF?平面PEC，EG?平面PEC，
∴AF∥平面PEC；
（2）由PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，可得△PAD为等腰直角三角形，
再由F分别是PD的中点可得AF⊥PD，再由PA⊥平面ABCD可得PA⊥CD，
由底面ABCD是矩形可得CD⊥AB，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AF，
∴AF⊥平面PCD，∴EG⊥平面PCD，由EG?平面PEC，
∴平面PEC⊥平面PDC．

点评 本题考查直线和平面平行和垂直的判定，作出辅助线并逐步寻找满足判定定理的条件是解决问题的关键，属中档题．