已知椭圆C的中心为平面直角坐标系xOy的原点,焦点在x轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若P为椭圆C上的动点,M为过P且垂直于x轴的直线上的一点,=λ,求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.
(1)=1(2)①当λ=时,轨迹方程为y=± (-4≤x≤4).轨迹是两条平行于x轴的线段.②当λ≠时,方程变形为=1,当0<λ<时,点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足-4≤x≤4的部分;当<λ<1时,点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足-4≤x≤4的部分;当λ≥1时,点M的轨迹为中心在原点,长轴在x轴上的椭圆.
【解析】(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a,c,由已知得解得又∵b2=a2-c2,∴b=,所以椭圆C的方程为=1. ?
(2)设M(x,y),其中x∈[-4,4],由已知=λ2及点P在椭圆C上可得
=λ2,整理得(16λ2-9)x2+16λ2y2=112,其中x∈[-4,4].
①当λ=时,化简得9y2=112,所以点M的轨迹方程为y=± (-4≤x≤4).轨迹是两条平行于x轴的线段.
②当λ≠时,方程变形为=1,其中x∈[-4,4].当0<λ<时,点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足-4≤x≤4的部分;当<λ<1时,点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足-4≤x≤4的部分;当λ≥1时,点M的轨迹为中心在原点,长轴在x轴上的椭圆.
科目:高中数学 来源:2014年高考数学(理)二轮复习专题能力测评1练习卷(解析版) 题型:选择题
命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为 ( ).
A.对任意x∈R,都有x2<0
B.不存在x∈R,都有x2<0
C.存在x0∈R,使得≥0
D.存在x0∈R,使得<0
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学(理)二轮复习专题提升训练训练18练习卷(解析版) 题型:填空题
已知正态分布总体落在区间(-∞,0.3)的概率为0.5,那么相应的正态曲线φμ,σ(x)在x=________时达到最高点.
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学(理)二轮复习专题提升训练训练16练习卷(解析版) 题型:解答题
已知椭圆的焦点坐标为F1(-1,0),F2(1,0),过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P,Q两点,且|PQ|=3.
(1)求椭圆的方程;
(2)过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M,N,则△F1MN的内切圆的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学(理)二轮复习专题提升训练训练16练习卷(解析版) 题型:选择题
已知椭圆=1(0<b<2)与y轴交于A,B两点,点F为该椭圆的一个焦点,则△ABF面积的最大值为( ).
A.1 B.2 C.4 D.8
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学(理)二轮复习专题提升训练训练15练习卷(解析版) 题型:选择题
抛物线C1:y=x2(p>0)的焦点与双曲线C2:-y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p=( ).
A. B. C. D.
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学(理)二轮复习专题提升训练训练14练习卷(解析版) 题型:解答题
已知点A(-3,0),B(3,0),动点P满足|PA|=2|PB|.
(1)若点P的轨迹为曲线C,求此曲线的方程;
(2)若点Q在直线l1:x+y+3=0上,直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M,求|QM|的最小值.?
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学(理)二轮复习专题提升训练训练13练习卷(解析版) 题型:选择题
如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC ?A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为( ).
A. B. C. D.
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学(理)二轮复习专题提升训练优化重组卷5练习卷(解析版) 题型:填空题
设圆C的圆心与双曲线=1(a>0)的右焦点重合,且该圆与此双曲线的渐近线相切,若直线l:x-y=0被圆C截得的弦长等于2,则a的值为________.
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