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已知椭圆C的中心为平面直角坐标系xOy的原点,焦点在x轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是71.

(1)求椭圆C的方程;

(2)P为椭圆C上的动点,M为过P且垂直于x轴的直线上的一点,λ,求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.

 

112)①λ时,轨迹方程为y± (4≤x≤4).轨迹是两条平行于x轴的线段.λ时,方程变形为1,当0<λ<时,点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足-4≤x≤4的部分;当<λ<1时,点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足-4≤x≤4的部分;当λ≥1时,点M的轨迹为中心在原点,长轴在x轴上的椭圆.

【解析】(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为ac,由已知得解得b2a2c2b,所以椭圆C的方程为1. ?

(2)M(xy),其中x[4,4],由已知λ2及点P在椭圆C上可得

λ2,整理得(16λ29)x216λ2y2112,其中x[4,4]

λ时,化简得9y2112,所以点M的轨迹方程为y± (4≤x≤4).轨迹是两条平行于x轴的线段.

λ时,方程变形为1,其中x[4,4].当0<λ<时,点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足-4≤x≤4的部分;当<λ<1时,点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足-4≤x≤4的部分;当λ≥1时,点M的轨迹为中心在原点,长轴在x轴上的椭圆.

 

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