Question

10．已知集合A={x|x²-8x+7＜0}，B={x|x²-2x-a²-2a＜0}
（1）当a=4时，求A∩B；
（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简集合A，集合B，根据集合的基本运算当a=4时，即可求A∩B；
（2）根据A⊆B，建立条件关系，对a进行讨论即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）集合A={x|x²-8x+7＜0}={x|1＜x＜7}，
当a=4时，B={x|x²-2x-24＜0}={x|-4＜x＜6}，
∴A∩B=（1，6）
（2）B={x|x²-2x-a²-2a＜0}={x|（x+a）（x-a-2）＜0}，
∵A⊆B，
①当a=-1时，B=∅，∴A⊆B不成立；
②当a+2＞-a，即a＞-1时，B=（-a，a+2），
∵A⊆B，∴$\left\{\begin{array}{l}-a≤1\\ a+2≥7\end{array}\right.$，解得a≥5；
③当a+2＜-a，即a＜-1时，B=（a+2，-a），
∵A⊆B，∴$\left\{\begin{array}{l}a+2≤1\\-a≥7\end{array}\right.$，解得a≤-7；
综上，当A⊆B，实数a的取值范围是（-∞，-7]∪[5，+∞）．
第（2）小题，解法二：
∵集合A={x|x²-8x+7＜0}={x|1＜x＜7}，
∵A⊆B，即f（x）=x²-2x-a²-2a＜0在（1，7）上恒成立．
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）≤0}\\{f（7）≤0}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{1-2-{a}^{2}-2a≤0}\\{49-14-{a}^{2}-2a≤0}\end{array}\right.$，解得：a≥5或a≤-7．
故得，当A⊆B，实数a的取值范围是（-∞，-7]∪[5，+∞）．

点评 本题考查了交集及其运算，考查了不等式的解法以及分类讨论思想，是中档题．