Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，

xf′(x)-f(x)

x2

＞0，且f（-2）=0，则不等式

f(x)

x

＞0的解集是

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：令g（x）=

f(x)

x

，由商的导数法则，即可得到x＞0，g（x）递增，由f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）为偶函数，x＜0时，g（x）是减函数，由于f（-2）=0，即g（-2）=0，g（2）=0，不等式

f(x)

x

＞0即为g（x）＞0，即有x＞0，且g（x）＞g（2）；或x＜0，且g（x）＞g（-2），运用单调性即可得到解集．

解答： 解：令g（x）=

f(x)

x

，[

f(x)

x

]′=

xf′(x)-f(x)

x2

，
即由当x＞0时，

xf′(x)-f(x)

x2

＞0，g（x）=

f(x)

x

是增函数，
由f（x）是定义在R上的奇函数，
则g（-x）=

f(-x)

-x

=g（x），则g（x）为偶函数，x＜0时，g（x）是减函数，
由于f（-2）=0，即g（-2）=0，g（2）=0，
则不等式

f(x)

x

＞0即为g（x）＞0，即有x＞0，且g（x）＞g（2）；或x＜0，且g（x）＞g（-2），
解得x＞2或x＜-2．
故答案为（-∞，-2）∪（2，+∞）．

点评：本题主要考查了函数单调性与奇偶性的应用．在判断函数的单调性时，常可利用导函数来判断．