【题目】在如图所示的几何体中,平面
.
(1)证明:平面
;
(2)求平面与平面
所成二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】分析:(1)在中,由勾股定理可得
.又
平面
,据此可得
.利用线面垂直的判断定理可得
平面
.
(2)(方法一)延长,
相交于
,连接
,由题意可知二面角
就是平面
与平面
所成二面角.取
的中点为
,则
就是二面角
的平面角.结合几何关系计算可得
.
(方法二)建立空间直角坐标系,计算可得平面
的法向量
.取平面
的法向量为
.利用空间向量计算可得
.
详解:(1)在中,
.
所以,所以
为直角三角形,
.
又因为平面
,所以
.
而,所以
平面
.
(2)(方法一)如图延长,
相交于
,连接
,
则平面平面
.
二面角就是平面
与平面
所成二面角.
因为,所以
是
的中位线.
,这样
是等边三角形.
取的中点为
,连接
,因为
平面
.
所以就是二面角
的平面角.
在,所以
.
(方法二)建立如图所示的空间直角坐标系,可得
.
.
设是平面
的法向量,则
令得
.
取平面的法向量为
.
设平面与平面
所成二面角的平面角为
,
则,从而
.
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【题目】a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:
①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;
②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;
③直线AB与a所成角的最小值为45°;
④直线AB与a所成角的最大值为60°.
其中正确的是________.(填写所有正确结论的编号)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x),g(x)分别由下表给出,
则f[g(1)]的值为________,满足f[g(x)]>g[f(x)]的x的值是________.
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【题目】某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示:当
中
(
)的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为
(单位:分钟),而公交群体的人均通勤时间不受
影响,恒为
分钟,试根据上述分析结果回答下列问题:
(1)当在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?
(2)求该地上班族的人均通勤时间
的表达式;讨论
的单调性,并说明其实际意义.
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【题目】通过研究学生的学习行为,心理学家发现,学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间,讲座开始时,学生的兴趣激增,中间有一段不太长的时间,学生的兴趣保持理想的状态,随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明,用表示学生掌握和接收概念的能力(
的值越大,表示接受能力越强),
表示提出和讲授概念的时间(单位:分钟),可以有以下公式:
(1)开讲多少分钟后,学生的接受能力最强?能维持多长时间?
(2)开讲5分钟与开讲20分钟比较,学生的接受能力何时强一些?
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【题目】已知是椭圆
的左、右焦点,点
在椭圆
上,线段
与
轴的交点
满足
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点作不与
轴重合的直线
,设
与圆
相交于
两点,与椭圆相交于
两点,当
且
时,求
的面积
的取值范围.
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