Question

16．设函数f（x）=|x+2|-|x-1|．
（1）求不等式f（x）＞1解集；
（2）若关于x的不等式f（x）+4≥|1-2m|有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用绝对值的意义求得不等式f（x）＞1解集．
（2）根据题意可得|x+2|-|x-1|+4≥|1-2m|有解，即|x+2|-|x-1|+4 的最大值大于或等于|1-2m|，再利用绝对值的意义求得|x+2|-|x-1|+4 的最大值，从而求得m的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=|x+2|-|x-1|表示数轴上的x对应点到-2对应点的距离减去它到1对应点的距离，
而0对应点到-2对应点的距离减去它到1对应点的距离正好等于1，
故不等式f（x）＞1解集为{x|x＞0}．
（2）若关于x的不等式f（x）+4≥|1-2m|有解，
即|x+2|-|x-1|+4≥|1-2m|有解，故|x+2|-|x-1|+4 的最大值大于或等于|1-2m|．
利用绝对值的意义可得|x+2|-|x-1|+4 的最大值为3+4=7，
∴|1-2m|≤7，故-7≤2m-1≤7，求得-3≤m≤4，
m的范围为[-3，4]．

点评 本题主要考查绝对值的意义，函数的能成立问题，属于中档题．