Question

5．已知函数y=x+$\frac{a}{x}$有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在$（{0，\sqrt{a}}]$上是减函数，在$[{\sqrt{a}，+∞}）$上是增函数．
（1）如果函数y=x+$\frac{3^b}{x}$（x＞0）在（0，3]上是减函数，在[3，+∞）上是增函数，求b的值；
（2）设常数c∈[1，4]，求函数f（x）=x+$\frac{c}{x}$（1≤x≤2）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）根据所给函数性质得$\sqrt{{3}^{b}}$=3；
（2）判断f（x）在[1，2]上的单调性，利用单调性得出最值．

解答 解：（1）由已知得$\sqrt{3^b}=3$，∴b=2．
（2）∵c∈[1，4]，∴$\sqrt{c}$∈[1，2]，∴f（x）在[1，$\sqrt{c}$]上是减函数，在[$\sqrt{c}$，2]上是增函数．
∴当$x=\sqrt{c}$时，函数f（x）取得最小值f（$\sqrt{c}$）=2$\sqrt{c}$．
又$f（1）-f（2）=\frac{c-2}{2}$，
当1≤c≤2时，函数f（x）的最大值是$f（2）=2+\frac{c}{2}$；
当2＜c≤4时，函数f（x）的最大值是f（1）=1+c．

点评 本题考查了函数单调性的应用，属于基础题．