Question

9．已知函数f（x）=x-alnx-1，g（x）=$\frac{mx}{{e}^{x-1}}$，其中m、a均为实数，e为自然对数的底数．
（1）当m＞0时，试讨论函数g（x）的极值情况；
（2）设m=1，a＜0，若对任意的x₁，x₂∈[3，4]（x₁≠x₂），|f（x₂）-f（x₁）|＜|$\frac{1}{g（{x}_{2}）}$-$\frac{1}{g（{x}_{1}）}$|恒成立，求实数a的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出g（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（2）不妨设x₂＞x₁，则|f（x2）-f（x1）|＜|$\frac{1}{g（{x}_{2}）}$-$\frac{1}{g（{x}_{1}）}$|等价于：f（x₂）-f（x₁）＜h（x₂）-h（x₁），即f（x₂）-h（x₂）＜f（x₁）-h（x₁），分离参数，利用导数求最值求出参数范围即可．

解答 解：（1）g（x）=$\frac{mx}{{e}^{x-1}}$，m＞0，
g′（x）=$\frac{m（1-x）}{{e}^{x-1}}$，
令g′（x）＞0，解得：x＜1，令g′（x）＜0，解得：x＞1，
∴g（x）在（-∞，1）递增，在（1，+∞）递减，
∴x=1时，g（x）取得极大值，无极小值；
（2）a＜0时，f（x）=x-alnx-1，x∈（0，+∞），
∴f′（x）=$\frac{x-a}{x}$＞0在[3，4]恒成立，
∴f（x）在[3，4]上为增函数，
当m=1时，g（x）=$\frac{x}{{e}^{x-1}}$，设h（x）=$\frac{1}{g（x）}$=$\frac{{e}^{x-1}}{x}$，
∵h′（x）=$\frac{{e}^{x-1}（x-1）}{{x}^{2}}$＞0在[3，4]上恒成立，
∴h（x）在[3，4]上为增函数，
不妨设x₂＞x₁，则|f（x₂）-f（x₁）|＜|$\frac{1}{g（{x}_{2}）}$-$\frac{1}{g（{x}_{1}）}$|等价于：
f（x₂）-f（x₁）＜h（x₂）-h（x₁），
即f（x₂）-h（x₂）＜f（x₁）-h（x₁），
设u（x）=f（x）-h（x）=x-alnx-1-$\frac{{e}^{x-1}}{x}$，
则u（x）在[3，4]上为减函数，
∴u′（x）=1-$\frac{a}{x}$-$\frac{{e}^{x-1}（x-1）}{{x}^{2}}$≤0在[3，4]上恒成立，
∴a≥x-ex-1+$\frac{{e}^{x-1}}{x}$恒成立，∴a≥（x-ex-1+$\frac{{e}^{x-1}}{x}$）_max，x∈[3，4]，
设v（x）=x-ex-1+$\frac{{e}^{x-1}}{x}$，
∵v′（x）=1-ex-1+$\frac{{e}^{x-1}（x-1）}{{x}^{2}}$=1-e^x-1[（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$]，x∈[3，4]，
∴e^x-1[（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$]＞$\frac{3}{4}$e²＞1，
∴v'（x）＜0，v（x）为减函数，
∴v（x）在[3，4]上的最大值v（3）=$\frac{1}{3}$e²-3e+2，
∴a≥$\frac{1}{3}$e²-3e+2，
∴a的最小值为$\frac{1}{3}$e²-3e+2．

点评 本题主要考查了利用导数求函数极值和利用导数求参数范围，属于综合题，在高考中经常涉及．