Question

14．四面体ABCD满足：棱CD?平面α，三条棱AB，AC，AD两两垂直且相等，E为棱BC的中点，如图所示，当四而体ABCD绕CD旋转时，直线AE与平面α所成角的最大值为$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 取CD的中点O为原点建立空间直角坐标系，则α的法向量为$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），设平面BCD与平面α所成的二面角为θ，AB=AC=AD=2，用θ表示出$\overrightarrow{AE}$的坐标，利用三角恒等变换计算|cos＜$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{n}$＞|的最大值即可得出线面角的最大值．

解答 解：取CD的中点O，在平面α内过O作y轴⊥CD，作z轴⊥平面α，以O为原点建立空间直角坐标系如图所示：
作EM⊥CD，垂足为M，
设平面BCD与平面α所成的二面角为θ，AB=AC=AD=2，
则AO=AE=$\sqrt{2}$，BO=$\sqrt{6}$，EM=$\frac{1}{2}$BO=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．OM=$\frac{1}{4}$CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴cos∠AOB=$\frac{O{A}^{2}+O{B}^{2}-A{B}^{2}}{2OA•OB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．sin∠AOB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴E（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$cosθ，$\frac{\sqrt{6}}{2}$sinθ），A（0，-$\sqrt{2}$cos（θ+∠AOB），$\sqrt{2}$sin（θ+∠AOB））．
∴$\overrightarrow{AE}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$cosθ+$\sqrt{2}$cos（θ+∠AOB），$\frac{\sqrt{6}}{2}$sinθ-$\sqrt{2}$sin（θ+∠AOB））．
∵$\overrightarrow{n}$=（0，0，1）是平面α的一个法向量，
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$sinθ-$\sqrt{2}$sin（θ+∠AOB）=$\frac{\sqrt{6}}{6}$sinθ-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$cosθ=$\frac{\sqrt{6}}{2}$sin（θ+φ）．
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AE}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{AE}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（θ+φ）．
∴AE与平面α所成角的正弦值最大为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴AE与平面α所成角的最大值为$\frac{π}{3}$．
故答案为：$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查了空间向量的应用与线面角的计算，属于中档题．