Question

19．如图，半球O内有一内接正三棱锥A-BCD（底面△BCD为等边三角形，顶点A在底面的射影为ABCD的中心），且△BCD内接于圆O，当半球O的体积为2$\sqrt{3}$π时，三棱锥A-BCD的所有棱长之和为9+3$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 利用半球O的体积为2$\sqrt{3}$π，求出球的半径，根据正弦定理可得，BC=3，根据勾股定理求出AD，即可求出三棱锥A-BCD的所有棱长之和．

解答 解：设球的半径为r，则
∵半球O的体积为2$\sqrt{3}$π，
∴$\frac{4}{3}π{r}^{3}$=2×2$\sqrt{3}$π，
∴r=$\sqrt{3}$．
连接AO，则AO⊥平面BCD，
根据正弦定理可得，BC=3，
在Rt△AOD中，AD=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{6}$，
∴棱锥A-BCD的所有棱长之和为9+3$\sqrt{6}$．
故答案为：9+3$\sqrt{6}$．

点评 本题考查三棱锥A-BCD的所有棱长之和，考查球的体积公式，考查正弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．