Question

6．求下列函数的值域．
（1）f（x）=cos²x+sinx；
（2）f（x）=2cos²x+sin2x；
（3）f（x）=sin2x+sinx+cosx．

Answer 1

分析 （1）f（x）=1-sin²x+sinx；换元sinx=t，t∈[-1，1]，根据二次函数图象及性质，即可求得f（x）的值域；
（2）f（x）=1+$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），根据正弦函数图形即可求得f（x）的值域；
（3）换元法，设t=sinx+cosx，由三角函数知识可得t∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，且sin2x=t²-1，可得y=t²+t+1，由二次函数区间的最值可得．

解答 解：（1）f（x）=cos²x+sinx=1-sin²x+sinx，
设sinx=t，t∈[-1，1]，
∴f（t）=-t²+t+1，t∈[-1，1]，
当t=$\frac{1}{2}$时取最大值，f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{4}$，当t=-1时，取最小值f（-1）=-1，
∴f（x）的值域为[-1，$\frac{5}{4}$]；
（2）f（x）=2cos²x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）；
由sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-1，1]，
f（x）的值域为[1-$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$]，
（3）f（x）=sin2x+sinx+cosx．
设t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），t∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
∴t²=（sinx+cosx）²=1+sin2x，∴sin2x=t²-1，
y=sin2x+sinx+cosx+2=t²-1+t=t²+t-1，
二次函数可知，当t=-$\frac{1}{2}$时取最小值，最小值为：y_min=-$\frac{5}{4}$，
当t=$\sqrt{2}$时取最大值，最大值为1+$\sqrt{2}$，
函数的值域为：[-$\frac{5}{4}$，1+$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查三角函数的值域，涉及换元法和三角函数的值域以及二次函数区间的最值，属中档题．