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如图,边长为a的正方形ABCD中,点E、F分别在AB、BC上,且,将△AED、△CFD分别沿DE、DF折起,使A、C两点重合于点,连结A¢B.

(Ⅰ)判断直线EF与A¢D的位置关系,并说明理由;
(Ⅱ)求二面角F-A¢B-D的大小.
(Ⅰ)异面垂直;(Ⅱ).

试题分析:(Ⅰ)先证明A¢D⊥面A¢EF即可得EF与A¢D的位置关系是异面垂直;
(Ⅱ)先作出并证明ÐOHF是二面角F-A¢B-D的平面角,再利用解三角形的方法求出ÐOHF的大小.
试题解析:(Ⅰ)A¢D⊥EF.       1分
证明如下:因为A¢D⊥A¢E,A¢D⊥A¢F,
所以A¢D⊥面A¢EF,又EFÌ面A¢EF,
所以A¢D⊥EF.直线EF与A¢D的位置关系是异面垂直    4分

(Ⅱ)方法一、设EF、BD相交于O,连结A¢O,作FH⊥A¢B于H,              
连结OH, 因为EF⊥BD,  EF⊥A¢D.
所以EF⊥面A¢BD,A¢BÌ面A¢BD, 所以A¢B⊥EF,又A¢B⊥FH,
故A¢B⊥面OFH,OHÌ面OFH,      所以A¢B⊥OH,
故ÐOHF是二面角F-A¢B-D的平面角.
,A¢E=A¢F=,EF=,则
所以,△A¢EF是直角三角形,则
,∴
则A¢B=,所以
所以, tanÐOHF=,故ÐOHF=
所以二面角F-A¢B-D的大小为.   12分
方法二、设EF、BD相交于O,连结A¢O,作于G,可得A¢G⊥面BEDF,
,A¢E=A¢F=,EF=,则

所以,△A¢EF是直角三角形,则
,则

所以,则
分别以BF、BE为空间直角坐标系的x、y轴,建立如图坐标系,则,故
,故面A¢BD的一个法向量
设面A¢BF的一法向量为,则
设二面角F-A¢B-D的平面角为,则,∴
故二面角F-A¢B-D的大小为. 12分
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