试题分析:(Ⅰ)先证明A¢D⊥面A¢EF即可得EF与A¢D的位置关系是异面垂直;
(Ⅱ)先作出并证明ÐOHF是二面角F-A¢B-D的平面角,再利用解三角形的方法求出ÐOHF的大小.
试题解析:(Ⅰ)A¢D⊥EF. 1分
证明如下:因为A¢D⊥A¢E,A¢D⊥A¢F,
所以A¢D⊥面A¢EF,又EFÌ面A¢EF,
所以A¢D⊥EF.
直线EF与A¢D的位置关系是异面垂直 4分
(Ⅱ)方法一、设EF、BD相交于O,连结A¢O,作FH⊥A¢B于H,
连结OH, 因为EF⊥BD, EF⊥A¢D.
所以EF⊥面A¢BD,A¢BÌ面A¢BD, 所以A¢B⊥EF,又A¢B⊥FH,
故A¢B⊥面OFH,OHÌ面OFH, 所以A¢B⊥OH,
故ÐOHF是二面角F-A¢B-D的平面角.
,A¢E=A¢F=
,EF=
,则
,
所以,△A¢EF是直角三角形,则
,
则
,
,∴
,
,
则A¢B=
,所以
,
所以, tanÐOHF=
,故ÐOHF=
.
所以二面角F-A¢B-D的大小为
. 12分
方法二、设EF、BD相交于O,连结A¢O,作
于G,可得A¢G⊥面BEDF,
,A¢E=A¢F=
,EF=
,则
,
所以,△A¢EF是直角三角形,则
,
则
,则
,
∴
,
,
所以
,
,则
,
分别以BF、BE为空间直角坐标系的x、y轴,建立如图坐标系,则
,
,
,
,故
,
,
,
,
因
,
,故面A¢BD的一个法向量
,
设面A¢BF的一法向量为
,则
取
,
设二面角F-A¢B-D的平面角为
,则
,∴
,
故二面角F-A¢B-D的大小为
. 12分