Question

【题目】已知函数 (其中， ).

（1）当时，若在其定义域内为单调函数，求的取值范围；

（2）当时，是否存在实数，使得当时，不等式恒成立，如果存在，求的取值范围，如果不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）

【解析】试题分析：（1）求出函数的导数， 在其定义域内为单调函数等价于或，即可求得的取值范围；（2）先证，当时，不等式恒成立可等价于在时恒成立，令，根据函数的单调性，求得，从而可得的取值范围.

试题解析：（1）函数的定义域是， .

若在其定义域內递增，则.

∵

∴，

若在其定义域内递减，则

∵， 时，

∴；

综上， 或.

（2）在时恒成立，

令， ， ，函数在递增，故时， 取最小值，故在恒成立，

故问题转化为在时恒成立，

令， ，

令，

而， ，

故存在，使得在递减，在递增

∴或

∵

∴.