Question

已知焦点在y轴，顶点在原点的抛物线C₁经过点P（2，2），以抛物线C₁上一点C₂为圆心的圆过定点A（0，1），记M，N为圆C₂与x轴的两个交点．
（1）求抛物线C₁的方程；
（2）当圆心C₂在抛物线上运动时，试判断|MN|是否为一定值？请证明你的结论；
（3）当圆心C₂在抛物线上运动时，记|AM|=m，|AN|=n，求

m

n

+

n

m

的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,抛物线的标准方程

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设出抛物线方程，代入点P，即可求得p，进而得到抛物线方程；
（2）方法一、求出圆C2的坐标和半径，得到圆的方程，令y=0，即可得到|MN|；
方法二、设出圆心C2，求出半径，运用弦长公式，即可得到定值；
（3）不妨设M（a-1，0），N（a+1，0），求出m，n，得到

m

n

+

n

m

，讨论a=0，a≠0，运用基本不等式即可得到最大值．

解答： 解：（1）由已知，设抛物线方程为x²=2py，
2²=2p×2，解得p=1．
所求抛物线C₁的方程为x²=2y；
（2）法1：设圆心C₂（a，

a2

2

），则圆C₂的半径r=

a2+( a2 2 -1)2

，
圆C₂的方程为（x-a）²+（y-

a2

2

）²=a²+（

a2

2

-1）²．
令y=0，得x²-2ax+a²-1=0，得x₁=a-1，x₂=a+1，
|MN|=|x₁-x₂|=2（定值）；
法2：设圆心C₂（a，b），因为圆过A（0，1），所以半径r=

a2+(b-1)2

，
因为C₂在抛物线上，a²=2b，且圆被x轴截得的弦长
|MN|=2

r2-b2

=2

a2+(b-1)2-b2

=2（定值）
（3）由（2）知，不妨设M（a-1，0），N（a+1，0），
m=

x12+1

=

(a-1)2+1

=

a2-2a+2

，n=

x22+1

=

(a+1)2+1

=

a2+2a+2

，
则

m

n

+

n

m

=

m2+n2

mn

=

2a2+4

a4+4

=2

1+ 4a2 4+a4

a=0时，

n

m

+

m

n

=2；a≠0时，

m

n

+

n

m

=2

1+ 4 a2+ 4 a2

≤2

2

．
故当且仅当a=±

2

时，

m

n

+

n

m

取得最大值2

2

．

点评：本题考查抛物线的方程和性质，考查圆的方程和运用，考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．