已知函数,,其中.
(1)若是函数的极值点,求实数的值;
(2)若对任意的(为自然对数的底数)都有≥成立,求实数的取值范围.
(1) (2)
解析试题分析:(1)先求导,根据题意 (2)可将问题转化为≥,分别求导令导数大于0、小于0得单调性,用单调性求最值。在解导数大于0或小于0的过程中注意对的讨论。
试题解析:(1)解法1:∵,其定义域为,
∴. ∵是函数的极值点,∴,即.
∵,∴. 经检验当时,是函数的极值点,∴.、
解法2:∵,其定义域为,
∴. 令,即,整理,得.
∵,
∴的两个实根(舍去),,
当变化时,,的变化情况如下表:
依题意,,即,∵,∴.
(2)对任意的都有≥成立等价于对任意的都有≥.当[1,]时,.
∴函数在上是增函数.∴.
∵,且,.
①当且[1,]时,,
∴函数在[1,]上是增函数,
∴.由≥,得≥,又,∴
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数图像上一点处的切线方程为(1)求的值;(2)若方程在区间内有两个不等实根,求的取值范围;(3)令如果的图像与轴交于两点,的中点为,求证:
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
一个圆柱形圆木的底面半径为1m,长为10m,将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分.现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁,长度保持不变,底面为等腰梯形(如图所示,其中O为圆心,在半圆上),设,木梁的体积为V(单位:m3),表面积为S(单位:m2).
(1)求V关于θ的函数表达式;
(2)求的值,使体积V最大;
(3)问当木梁的体积V最大时,其表面积S是否也最大?请说明理由.
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