已知函数,
,其中
.
(1)若是函数
的极值点,求实数
的值;
(2)若对任意的(
为自然对数的底数)都有
≥
成立,求实数
的取值范围.
(1) (2)
解析试题分析:(1)先求导,根据题意 (2)可将问题转化为
≥
,分别求导令导数大于0、小于0得单调性,用单调性求最值。在解导数大于0或小于0的过程中注意对
的讨论。
试题解析:(1)解法1:∵,其定义域为
,
∴. ∵
是函数
的极值点,∴
,即
.
∵,∴
. 经检验当
时,
是函数
的极值点,∴
.、
解法2:∵,其定义域为
,
∴. 令
,即
,整理,得
.
∵,
∴的两个实根
(舍去),
,
当变化时,
,
的变化情况如下表:
依题意,,即
,∵
,∴
.
(2)对任意的都有
≥
成立等价于对任意的
都有
≥
.当
[1,
]时,
.
∴函数在
上是增函数.∴
.
∵,且
,
.
①当且
[1,
]时,
,
∴函数在[1,
]上是增函数,
∴.由
≥
,得
≥
,又
,∴
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数图像上一点
处的切线方程为
(1)求
的值;(2)若方程
在区间
内有两个不等实根,求
的取值范围;(3)令
如果
的图像与
轴交于
两点,
的中点为
,求证:
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
一个圆柱形圆木的底面半径为1m,长为10m,将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分.现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁,长度保持不变,底面为等腰梯形(如图所示,其中O为圆心,
在半圆上),设
,木梁的体积为V(单位:m3),表面积为S(单位:m2).
(1)求V关于θ的函数表达式;
(2)求的值,使体积V最大;
(3)问当木梁的体积V最大时,其表面积S是否也最大?请说明理由.
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