Question

（12分）如图，在直三棱柱中，，，

为的中点.

（1）求证： //平面；  

（2）求证：⊥平面；

（3）设是上一点，试确定的位置，使平面⊥平面，并说明理由.

Answer 1

解析：（I）证明：如图，连结AB₁与A₁B相交于M。

则M为A₁B的中点

连结MD，则D为AC的中点

∴B₁C∥MD

又B₁C平面A₁BD

∴B₁C∥平面A₁BD …………4分

（II）∵AB=B₁B

∴四边形ABB₁A₁为正方形

∴A₁B⊥AB₁

又∵AC₁⊥面A₁BD

∴AC₁⊥A₁B∴A₁B⊥面AB₁C₁   …………6分

∴A₁B⊥B₁C₁

又在直棱柱ABC―A₁B₁C₁中BB₁⊥B₁C₁

∴B₁C₁⊥平面ABB₁A₁                                           …………8分

   （III）当点E为C₁C的中点时，平面A₁BD⊥平面BDE               …………9分

∵D、E分别为AC、C₁C的中点

∴DE∥AC₁     ∵AC₁⊥平面A₁BD

∴DE⊥平面A₁BD

又DE平面BDE

∴平面A₁BD⊥平面BDE     …………12分