Question

13．已知正实数x，y满足3xy-x-3y-5=0，则x+2y+$\frac{1}{3}$的最小值为6．

Answer 1

分析 由题意可知：x=$\frac{3y+5}{3y-1}$，由x＞0，y＞0，3y-1＞0，由x+2y+$\frac{1}{3}$=$\frac{3y+5}{3y-1}$+2y+$\frac{1}{3}$=$\frac{6}{3y-1}$+$\frac{2}{3}$（3y-1）+2≥2$\sqrt{\frac{6}{3y-1}×\frac{2}{3}（3y-1）}$+2=6，即可求得x+2y+$\frac{1}{3}$的最小值．

解答 解：由3xy-x-3y-5=0，则x=$\frac{3y+5}{3y-1}$，由x＞0，y＞0，
∴3y+5＞0，
∴3y-1＞0，
x+2y+$\frac{1}{3}$=$\frac{3y+5}{3y-1}$+2y+$\frac{1}{3}$，
=1+$\frac{6}{3y-1}$+2y+$\frac{1}{3}$，
=$\frac{6}{3y-1}$+$\frac{2}{3}$（3y-1）+2≥2$\sqrt{\frac{6}{3y-1}×\frac{2}{3}（3y-1）}$+2=6，
当且仅当$\frac{6}{3y-1}$=$\frac{2}{3}$（3y-1），即y=$\frac{4}{3}$时，取最小值，
∴x+2y+$\frac{1}{3}$的最小值为6，
故答案为：6．

点评 本题考查基本不等式的应用，考查转化思想，属于中档题．