Question

11．已知函数f（x）=$\frac{2{x}^{2}-kx+k}{{e}^{x}}$．
（1）当k为何值时，f（x）在R上是减函数；
（2）试确定实数k的值，使f（x）的极小值为0．

Answer 1

分析 （1）求出导数，由题意可得-2x²+（4+k）x-2k≤0恒成立，运用判别式小于等于0，解不等式即可得到所求值；
（2）求出导数，对k讨论，当k＞4时，当k＜4时，求得单调区间，即可得到极小值，解方程即可得到所求k的值．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{2{x}^{2}-kx+k}{{e}^{x}}$的导数为
f′（x）=$\frac{-2{x}^{2}+（4+k）x-2k}{{e}^{x}}$，
由f′（x）≤0在R上恒成立，可得-2x²+（4+k）x-2k≤0恒成立，
即有判别式△=（4+k）²-16k≤0，
解得（k-4）²≤0，由（k-4）²≥0，
解得k=4．
即有当k为4时，f（x）在R上是减函数；
（2）由于f′（x）=$\frac{-2{x}^{2}+（4+k）x-2k}{{e}^{x}}$，
由-2x²+（4+k）x-2k=-2（x-2）（x-$\frac{k}{2}$），（k≠4），
当k＞4时，由f′（x）＞0可得2＜x＜$\frac{k}{2}$；由f′（x）＜0可得x＞$\frac{k}{2}$或x＜2．
可得x=2处取得极小值，且有f（2）=0，
即8-2k+k=0，解得k=8，成立；
当k＜4时，由f′（x）＞0可得$\frac{k}{2}$＜x＜2；由f′（x）＜0可得x＜$\frac{k}{2}$或x＞2．
可得x=$\frac{k}{2}$处取得极小值，且有f（$\frac{k}{2}$）=0，
即$\frac{{k}^{2}}{2}$-$\frac{{k}^{2}}{2}$+k=0，解得k=0，成立．
综上可得，当实数k的值为0和8，使f（x）的极小值为0．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值，同时考查函数的单调性的运用和不等式恒成立问题的解法，考查运算能力，属于中档题．