Question

16．已知函数f（x）=sin²x+sinxcosx-$\frac{1}{2}$，下列结论中：
①函数f（x）关于x=$\frac{π}{8}$对称；
②函数f（x）关于（-$\frac{π}{8}$，0）对称；
③函数f（x）在（0，$\frac{π}{8}$）是增函数，
④将y=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$cos2x的图象向右平移$\frac{3π}{8}$可得到f（x）的图象．
其中正确的结论序号为③④．

Answer 1

分析 利用三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），由2x-$\frac{π}{4}$=k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得函数对称轴．①不正确；由2x-$\frac{π}{4}$=kπ，k∈Z可解得函数对称中心为：（$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{8}$，0），②不正确；由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，可解得函数单调递增区间，可得③正确；将y=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$cos2x的图象向右平移$\frac{3π}{8}$可得到y=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$cos[2（x-$\frac{3π}{8}$）]=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），可得④正确．

解答 解：∵f（x）=sin²x+sinxcosx-$\frac{1}{2}$=$\frac{1-cos2x}{2}+\frac{1}{2}sin2x-\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
对于①，2x-$\frac{π}{4}$=k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得函数对称轴为：x=$\frac{kπ}{2}+\frac{3π}{8}$，k∈Z，故①不正确；
对于②，由2x-$\frac{π}{4}$=kπ，k∈Z可解得：x=$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{8}$，k∈Z，故函数对称中心为：（$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{8}$，0），②不正确；
对于③，由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，可解得函数单调递增区间为：[k$π-\frac{π}{8}$，k$π+\frac{3π}{8}$]，k∈Z，故可得函数f（x）在（0，$\frac{π}{8}$）是增函数，③正确；
对于④，将y=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$cos2x的图象向右平移$\frac{3π}{8}$可得到y=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$cos[2（x-$\frac{3π}{8}$）]=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos（2x-$\frac{3π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin[$\frac{π}{2}$-（2x-$\frac{3π}{4}$）]=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（$\frac{5π}{4}$-2x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），④正确．
故答案为：③④．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．