Question

1．已知$\overrightarrow{a}$=（cosα，sinα），α∈（0，π），$\overrightarrow{b}$=（sinβ，cosβ），β∈（0，π），若tan$\frac{β}{2}$=$\frac{1}{2}$，且$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{5}{13}$．
（1）求sin2β；
（2）求sinα．

Answer 1

分析 （1）由已知tan$\frac{β}{2}$=$\frac{1}{2}$，利用同角三角函数关系式可求得sinβ，cosβ的值，利用二倍角公式即可得解sin2β．
（2）由平面向量数量积的坐标表示可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{5}{13}$=cosαsinβ+sinαcosβ=sin（α+β），结合α∈（0，π），β∈（0，π），可求cos（α+β），利用两角差的正弦函数公式可求sinα=sin[（α+β）-β]的值．

解答 解：（1）∵tan$\frac{β}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴sinβ=$\frac{2tan\frac{β}{2}}{1+ta{n}^{2}\frac{β}{2}}$=$\frac{2×\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{4}{5}$，cosβ=$\frac{1-ta{n}^{2}\frac{β}{2}}{1+ta{n}^{2}\frac{β}{2}}$=$\frac{1-\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{3}{5}$，
∴sin2β=2sinβcosβ=2×$\frac{4}{5}×\frac{3}{5}$=$\frac{24}{25}$．
（2）由题意可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{5}{13}$=cosαsinβ+sinαcosβ=sin（α+β），
结合α∈（0，π），β∈（0，π），可得：cos（α+β）=±$\frac{12}{13}$，
∴sinα=sin[（α+β）-β]=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ=$\frac{5}{13}×\frac{3}{5}-（±\frac{12}{13}）×\frac{4}{5}$=-$\frac{33}{65}$或$\frac{63}{65}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数关系式，两角差的正弦函数公式，平面向量及应用，属于基本知识的考查．