Question

7．正三棱锥P-ABC的侧棱两两垂直，则PA与底面ABC所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 根据所给的正三棱锥的特点，根据三垂线定理做出二面角的平面角，在直角三角形中做出要用的两条边的长度，根据三角函数的定义得到角的余弦值即可．

解答 解：正三棱锥P-ABC的侧棱两两垂直，
过P做地面的垂线PO，在面ABC上，做BC的垂线AD，
AO为PA在底面的射影，
则∠PAO就是PA与底面ABC所成角，
设侧棱长是1，在等腰直角三角形PBC中BC=$\sqrt{2}$，PD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
AD=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
PA与底面ABC所成角的余弦值为：$\frac{PA}{AD}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{6}}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查二面角的平面角及其求法，本题解题的关键是做出直线与平面所成角，解三角形，是基本知识的考查．