Question

19．已知函数f（x）的定义域是{x|x≠0}，对定义域内的任意x₁，x₂都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），且当x＞1时f（x）＞0，f（2）=1．则下列结论正确的是（1），（3）
（1）f（1）=0；       
（2）若a＞1，则f（a）-f（-a）＞0；    
（3）f（x）在（0，+∞）上是增函数； 
（4）不等式f（x-1）＜2的解集为（1，5）

Answer 1

分析 （1）利用赋值法令x₁=x₂=1进行求解f（1）=0；       
（2）根据条件判断函数的奇偶性即可；    
（3）根据函数单调性的定义进行判断； 
（4）根据函数的奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化进行判断即可．

解答 解：（1）令x₁=x₂=1，则f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0，故（1）正确，
（2）由题意知，对定义域内的任意x₁，x₂都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），
令x₁=x₂=-1，代入上式解得f（-1）=0，
令x₁=-1，x₂=x代入上式，
∴f（-x）=f（-1•x）=f（-1）+f（x）=f（x），
∴f（x）是偶函数．则f（a）-f（-a）=f（a）-f（a）=0，
则a＞1，则f（a）-f（-a）＞0不成立，故（2）错误0；
（3）设x₂＞x₁＞0，则$f（{x_2}）-f（{x_1}）=f（{x_1}•\frac{x_2}{x_1}）-f（{x_1}）$=$f（{x_1}）+f（\frac{x_2}{x_1}）-f（{x_1}）=f（\frac{x_2}{x_1}）$
∵x₂＞x₁＞0，∴$\frac{x_2}{x_1}＞1$，∴$f（\frac{x_2}{x_1}）$＞0，
即f（x₂）-f（x₁）＞0，∴f（x₂）＞f（x₁）
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．故（3）正确；
（4）∵f（2）=1，∴f（4）=f（2）+f（2）=2，
∵f（x）是偶函数，∴不等式f（x-1）＜2可化为f（|x-1|）＜f（4），
又∵函数在（0，+∞）上是增函数，
∴|x-1|＜4，且x-1≠0，
即-4＜x-1＜4，且x≠1，
解得-3＜x＜5，且x≠1，
即不等式的解集为{x|-3＜x＜5，且x≠1}．故（4）错误，
故答案为：（1），（3）

点评 本题的考点是抽象函数的性质及其应用，根据证明函数奇偶性和单调性的方法，反复给x₁和x₂值利用给出恒等式，注意条件的利用；利用赋值法是解决本题的关键．