Question

【题目】设函数，其中为自然对数的底数.

（1）若在定义域上是增函数，求的取值范围；

（2）若直线是函数的切线，求实数的值；

（3）当时，证明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析

【解析】

（1）首先求出函数的定义域与导函数，由在上是增函数

即在上恒成立；即在上恒成立

设，利用导数说明其单调性，即可求出参数的取值范围；

（2）设切点为，则，再由切线的斜率为零得到，所以，构造函数，利用导数说明其单调性，即可求出参数的值；

（3）由，设，利用导数说明的单调性，即可得到，最后利用基本不等式即可得证；

解：（1）函数的定义域为，，

∵在上是增函数

∴在上恒成立；即在上恒成立

设，则

由得

∴在上为增函数；即

∴.

（2）设切点为，则，

因为，所以，得，

所以.

设，则，

所以当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以.

因为方程仅有一解，

所以.

（3）因为，

设，则，所以在单调递增.

因为，，

所以存在，使得.

当时，，，单调递减，

当时，，，单调递增，

所以.

因为，所以，，

所以.