【题目】设函数,其中
为自然对数的底数.
(1)若在定义域上是增函数,求
的取值范围;
(2)若直线是函数
的切线,求实数
的值;
(3)当时,证明:
.
【答案】(1);(2)
;(3)证明见解析
【解析】
(1)首先求出函数的定义域与导函数,由在
上是增函数
即在
上恒成立;即
在
上恒成立
设,利用导数说明其单调性,即可求出参数的取值范围;
(2)设切点为,则
,再由切线的斜率为零得到
,所以
,构造函数
,利用导数说明其单调性,即可求出参数的值;
(3)由,设
,利用导数说明
的单调性,即可得到
,最后利用基本不等式即可得证;
解:(1)函数的定义域为
,
,
∵在
上是增函数
∴在
上恒成立;即
在
上恒成立
设,则
由得
∴在
上为增函数;即
∴.
(2)设切点为,则
,
因为,所以
,得
,
所以.
设,则
,
所以当时,
,
单调递增,
当时,
,
单调递减,
所以.
因为方程仅有一解
,
所以.
(3)因为,
设,则
,所以
在
单调递增.
因为,
,
所以存在,使得
.
当时,
,
,
单调递减,
当时,
,
,
单调递增,
所以.
因为,所以
,
,
所以.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知直线的参数方程为
(
为参数),
,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求直线的普通方程及曲线
的直角坐标方程;
(2)若直线与曲线
交于
、
两点,设
、
中点为
,求弦长
以及
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某品牌经销商在一广场随机采访男性和女性用户各50名,其中每天玩微信超过6小时的用户列为“微信控”,否则称其为“非微信控”,调查结果如下:
微信控 | 非微信控 | 合计 | |
男性 | 26 | 24 | 50 |
女性 | 30 | 20 | 50 |
合计 | 56 | 44 | 100 |
(1)根据以上数据,能否有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关?
(2)现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人,再随机抽取3人赠送礼品,记这3人中“微信控”的人数为,试求
的分布列和数学期望.
参考公式: ,其中
.
参考数据:
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】随着手机的发展,“微信”逐渐成为人们支付购物的一种形式.某机构对“使用微信支付”的态度进行调查,随机抽取了50人,他们年龄的频数分布及对“使用微信支付”赞成人数如下表.
年龄(单位:岁) |
|
|
|
|
| |
频数 | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
赞成人数 | 5 | 10 | 12 | 7 | 2 | 1 |
(1)若以“年龄45岁为分界点”,由以上统计数据完成下面列联表,并判断是否有99%
年龄不低于45岁的人数 | 年龄低于45岁的人数 | 合计 | |
赞成 | |||
不赞成 | |||
合计 |
(2)若从年龄在的被调查人中按照赞成与不赞成分层抽样,抽样人数分别3人与2人,现对抽样的5人进行追踪调查,在5人中抽取3人做专访,求3人中不赞成使用微信支付的人数的分布列和期望值.
参考数据:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
,其中
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在三棱柱中,点
在平面
内运动,使得二面角
的平面角与二面角
的平面角互余,则点
的轨迹是( )
A. 一段圆弧 B. 椭圆的一部分 C. 抛物线 D. 双曲线的一支
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为了研究某学科成绩是否与学生性别有关,采用分层抽样的方法,从高二年级抽取了名男生和
名女生的该学科成绩,得到如图所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图,规定
分以上为优分(含
分).
(1)(i)请根据图示,将2×2列联表补充完整;
优分 | 非优分 | 总计 | |
男生 | |||
女生 | |||
总计 | 50 |
(ii)据列联表判断,能否在犯错误概率不超过的前提下认为“学科成绩与性别有关”?
(2)将频率视作概率,从高二年级该学科成绩中任意抽取名学生的成绩,求成绩为优分人数
的分布列与数学期望.
参考公式:.
参考数据:
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在2019年高考数学的全国Ⅲ卷中,文科和理科的选做题题目完全相同,第22题考查选修4-4:极坐标和参数方程;第23题考查选修4-5:不等式选讲.某校高三质量检测的命题采用了全国Ⅲ卷的形式,在测试结束后,该校数学组教师对该校全体高三学生的选做题得分情况进行了统计,得到两题得分的列联表如下(已知每名学生只做了一道题):
选做22题 | 选做23题 | 合计 | |
文科人数 | 50 | 60 | |
理科人数 | 40 | ||
总计 | 400 |
(1)完善列联表中的数据,判断能否有
的把握认为“选做题的选择”与“文、理科的科类”有关;
(2)经统计,第23题得分为0的学生中,理科生占理科总人数的,文科生占文科总人数的
,在按分层抽样的方法在第23题得分为0的学生中随机抽取6名进行单独辅导,并在辅导后随机抽取2名学生进行测试,求被抽中进行测试的2名学生均为理科生的概率.
附:,其中
.
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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