已知线段AB的两个端点A,B分别在x轴、y轴上滑动,|AB|=3,点M满足2=.
(1)求动点M的轨迹E的方程.
(2)若曲线E的所有弦都不能被直线l:y=k(x-1)垂直平分,求实数k的取值范围.
(1) +y2=1 (2) k≤-或k≥.
【解析】(1)设M(x,y),A(x0,0),B(0,y0),
则+=9,=(x-x0,y),=(-x,y0-y).
由2=,得解得
代入+=9,
化简得点M的轨迹方程为+y2=1.
(2)由题意知k≠0,
假设存在弦CD被直线l垂直平分,设直线CD的方程为y=-x+b,
由消去y化简得
(k2+4)x2-8kbx+4k2(b2-1)=0,
Δ=(-8kb)2-4(k2+4)·4k2(b2-1)
=-16k2(k2b2-k2-4)>0,
k2b2-k2-4<0,
设C(x1,y1),D(x2,y2),CD中点P(xp,yp),
则x1+x2=,
xp==,
yp=-xp+b=-·+b=,
又yp=k(-1),
∴k(-1)=,得b=,
代入k2b2-k2-4<0,得-(k2+4)<0,
解得k2<5,∴-<k<.
∴当曲线E的所有弦都不能被直线l:y=k(x-1)垂直平分时,k的取值范围是k≤-或k≥.
科目:高中数学 来源:2014年高考数学全程总复习课时提升作业五十八第八章第九节练习卷(解析版) 题型:解答题
已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.
(1)求动点P的轨迹C的方程.
(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1,l2,设l1与轨迹C相交于点A,B,l2与轨迹C相交于点D,E,求·的最小值.
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学全程总复习课时提升作业五十二第八章第三节练习卷(解析版) 题型:选择题
若原点在圆(x-m)2+(y+m)2=8的内部,则实数m的取值范围是( )
(A)-2<m<2 (B)0<m<2
(C)-2<m<2 (D)0<m<2
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学全程总复习课时提升作业五十三第八章第四节练习卷(解析版) 题型:填空题
若点P在直线l1:x+my+3=0上,过点P的直线l2与圆C:(x-5)2+y2=16只有一个公共点M,且|PM|的最小值为4,则m= .
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学全程总复习课时提升作业五十三第八章第四节练习卷(解析版) 题型:选择题
直线ax+by+c=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点,若c2=a2+b2,O为坐标原点,则·=( )
(A)2 (B) (C)-2 (D)-
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学全程总复习课时提升作业五十七第八章第八节练习卷(解析版) 题型:填空题
设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为邻边作平行四边形MONP,则点P的轨迹方程为 .
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学全程总复习课时提升作业五十七第八章第八节练习卷(解析版) 题型:选择题
设x1,x2∈R,常数a>0,定义运算“*”:x1*x2=(x1+x2)2-(x1-x2)2,若x≥0,则动点P(x,)的轨迹是( )
(A)圆 (B)椭圆的一部分
(C)双曲线的一部分 (D)抛物线的一部分
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学全程总复习课时提升作业五十一第八章第二节练习卷(解析版) 题型:选择题
点P(-1,3)到直线l:y=k(x-2)的距离的最大值等于( )
(A)2 (B)3 (C)3 (D)2
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学全程总复习课时提升作业二十六第四章第二节练习卷(解析版) 题型:选择题
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c且m=(a+c,b),n=(b,a-c),m∥n,则△ABC的形状为( )
(A)锐角三角形(B)直角三角形
(C)钝角三角形(D)不能判定
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