Question

已知曲线y＝x³＋.

(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；

(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程．

[分析]　(1)在点P处的切线以点P为切点．

(2)过点P的切线，点P不一定是切点，需要设出切点坐标．

Answer 1

(1)∵y′＝x²，

∴在点P(2,4)处的切线的斜率k＝y′＝4.

∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，

即4x－y－4＝0.

(2)设曲线y＝x³＋与过点P(2,4)的切线相切于点

A，

则切线的斜率k＝y′＝x.

∴切线方程为y－＝x(x－x₀)，

即y＝x·x－x＋.

∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2x－x＋，

即x－3x＋4＝0.∴x＋x－4x＋4＝0.

∴x(x₀＋1)－4(x₀＋1)(x₀－1)＝0.

∴(x₀＋1)(x₀－2)²＝0，解得x₀＝－1或x₀＝2.

故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.