Question

17．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为$\frac{7}{6}$表面积为$\frac{11+4\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 这是一个空间组合体，上面是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个直角边是1的直角三角形，高是1，下面是一个三棱柱，三棱柱的底面是一个直角边是1的直角三角形，高是2，得到原几何体后即可求得其体积和表面积．

解答 解：由三视图得原几何体如图，
上面是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个直角边是1的直角三角形，高是1，下面是一个三棱柱，三棱柱的底面是一个直角边是1的直角三角形，高是2．
∴三棱锥的体积是$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×1×1×1=$\frac{1}{6}$．
下面是一个三棱柱，三棱柱的底面是一个直角边是1的直角三角形，高是2，
∴三棱柱的体积是$\frac{1}{2}$×1×1×2=1．
∴空间几何体的体积是$\frac{1}{6}+1=\frac{7}{6}$；
组合体的表面积为：（1×2+1×2$+\sqrt{2}×2$$+\frac{1}{2}×1×1$）+（$\frac{1}{2}×1×1+\frac{1}{2}×1×1$+$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{6}}{2}$）=$\frac{11+4\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：$\frac{7}{6}$；$\frac{11+4\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查由三视图求空间几何体的体积和表面积，由三视图正确还原原几何体是解答该题的关键，是中档题．