Question

6．设O为△ABC的外心，且满足$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC．}$则∠ACB=120°．

Answer 1

分析 如图所示，取AB的中点D，连接OD，则OD⊥AB.$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$=2$\overrightarrow{OD}$，由于$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC．}$可得$2\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{OC}$，进而得到四边形OABC是菱形．再利用直角三角形的边角关系即可得出．

解答 解：如图所示，取AB的中点D，连接OD，则OD⊥AB．
$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$=2$\overrightarrow{OD}$，
∵满足$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC．}$
∴$2\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{OC}$，
∴O，D，C三点共线．
∴点D是OC的中点，
∴四边形OABC是菱形．
在Rt△OAD中，cos∠DOA=$\frac{1}{2}$，可得∠DOA=60°，同理∠BOD=60°．
∴∠AOB=120°．
因此∠ACB=120°．
故答案为：120°．

点评 本题考查了三角形的外心的性质、直角三角形的边角关系、菱形的性质、向量的平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．