Question

13．已知函数f（x）=x³+ax²-a²x+2．
（1）若a=-1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若a≠0 求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）首先对f（x）求导，求出f'（2）=7，f（2）=4；利用点斜式列出直线方程；
（2）求出导函数零点，然后对参数a分类讨论判断函数的单调性即可；

解答 解：（1）若a=-1时，f（x）=x³-x²-x+2；
则f'（x）=3x²-2x-1，故f'（2）=7，f（2）=4；
切线方程：y-4=7（x-2）
化简后：7x-y-10=0．
（2）f'（x）=3x²+2ax-a²=（x+a）（3x-a）；
由f'（x）=0得x=-a或x=$\frac{a}{3}$；
①当a＞0时，由f'（x）＜0，得-a＜x＜$\frac{a}{3}$，
由f'（x）＞0得x＜-a或x＞$\frac{a}{3}$；
此时f（x）的单调减区间为（-a，$\frac{a}{3}$），单调递增区间为（-∞，-a），（$\frac{a}{3}$，+∞）；
②当a＜0时，由f'（x）＜0得$\frac{a}{3}$＜x＜-a，由f'（x）＞0得x＜$\frac{a}{3}$或x＞-a．
此时f（x）的单调递减区间为（$\frac{a}{3}$，-a），单调递增区间为（-∞，$\frac{a}{3}$）和（-a，+∞）．

点评 本题主要考查了导数与切线方程关系，以及导数与函数单调性，分类讨论思想，属中等题．