Question

5．已知函数f（x）=x³-3x在区间[a-1，a+1]（a≥0）上的最大值与最小值之差为4，则实数a的值为1或0．

Answer 1

分析 求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调区间，求出最大值和最小值，得到关于a的方程，解出即可．

解答 解：y′=f′（x）=3（x+1）（x-1），
∴函数在在（-∞，-1）递增，在（-1，1）递减，在（1，+∞）递增，
①a=0时，函数在[-1，1]递减，
函数的最大值是f（-1）=2，函数的最小值是f（1）=-2，
∴f（-1）-f（1）=2-（-2）=4，
故a=0符合题意；
②0＜a＜2时，1＜a+1＜3，-1＜a-1＜1，
∴函数在[a-1，1]递减，在（1，a+1]递增，
函数的最小值是f（1）=-2，
∵f（a+1）-f（a-1）=（a+1）³-3（a+1）-（a-1）³+3（a-1）=2（3a²-2），
令f（a+1）-f（a-1）=0，
解得a=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
当0＜a＜$\frac{\sqrt{6}}{3}$时，f（a+1）＜f（a-1），
∴f（x）_max=（a-1）³-3（a-1），
∴f（x）_max-f（x）_min=（a-1）³-3（a-1）-（-2）=4，
解得a=0或a=3，都舍去
当$\frac{\sqrt{6}}{3}$≤a＜2时，
∴f（x）_max=（a+1）³-3（a+1），
∴f（x）_max-f（x）_min=（a+1）³-3（a+1）-（-2）=4，
即（a-1）3-3（a-1）-2=0，
解得a=1，a=-2舍去，符合题意．
③a≥2时，f（x）在[a-1，a+1]递增，
∴f（x）_min=f（a-1），f（x）_max=f（a+1），
∴（a+1）³-3（a+1）-（a-1）³+3（a-1）=4，
解得：a=±$\sqrt{3}$，舍去，
综上：a=1或0．
故答案为：1或0

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，分类讨论思想，是一道中档题．