Question

15．设函数f（x）=x²e^x．
（1）求曲线f（x）在点（1，e）处的切线方程；
（2）若f（x）＜ax对x∈（-∞，0）恒成立，求a的取值范围；
（3）求整数n的值，使函数F（x）=f（x）-$\frac{1}{x}$在区间（n，n+1）上有零点．

Answer 1

分析 （1）求出原函数的导函数，得到f'（1），代入直线方程的点斜式得答案；
（2）由f（x）＜ax对x∈（-∞，0）恒成立，分离参数a，可得a＜xe^x，构造函数g（x）=xe^x，利用导数求其最小值可得a的取值范围；
（3）由F（x）=0，得$f（x）=\frac{1}{x}$，当x＜0时方程不成立，可得F（x）的零点在（0，+∞）上，由函数单调性可得方程$f（x）=\frac{1}{x}$仅有一解x₀，再由零点判定定理求得整数n的值．

解答 解：（1）f'（x）=（x²+2x）e^x，
∴f'（1）=3e，
∴所求切线方程为y-e=3e（x-1），即y=3ex-2e；
（2）∵f（x）＜ax，对x∈（-∞，0）恒成立，∴$a＜\frac{f（x）}{x}=x{e^x}$，
设g（x）=xe^x，g'（x）=（x+1）e^x，
令g'（x）＞0，得x＞-1，令g'（x）＜0得x＜-1，
∴g（x）在（-∞，-1）上递减，在（-1，0）上递增，
∴$g{（x）_{min}}=g（{-1}）=-\frac{1}{e}$，
∴$a＜-\frac{1}{e}$；
（3）令F（x）=0，得$f（x）=\frac{1}{x}$，
当x＜0时，$f（x）={x^2}{e^x}＞0，\frac{1}{x}＜0$，
∴F（x）的零点在（0，+∞）上，
令f'（x）＞0，得x＞0或x＜-2，
∴f（x）在（0，+∞）上递增，又$\frac{1}{x}$在（0，+∞）上递减，
∴方程$f（x）=\frac{1}{x}$仅有一解x₀，且x₀∈（n，n+1），n∈Z，
∵$F（1）=e-1＞0，F（{\frac{1}{2}}）=\frac{{\sqrt{e}}}{4}-2＜0$，
∴由零点存在的条件可得${x_0}∈（{\frac{1}{2}，1}）$，则n=0．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求函数的最值，训练了函数零点判定定理的应用，是中档题．