Question

4．已知函数$f（x）=\frac{xlnx}{x-1}-a（a＜0）$．
（Ⅰ）当x∈（0，1）时，求f（x）的单调性；
（Ⅱ）若h（x）=（x²-x）•f（x），且方程h（x）=m有两个不相等的实数根x₁，x₂．求证：x₁+x₂＞1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求导，再构造函数，根据导数和函数的单调性的关系即可判断f（x）在（0，1）上的单调性，
（Ⅱ）先求导，设h'（x₀）=0，则x₀∈（0，1），则h（x）在（0，x₀）上单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增，由（Ⅰ）知$\left.\begin{array}{l}f（{x_1}）＜f（{x_0}）\\ f（{x_2}）＞f（{x_0}）\end{array}\right\}⇒\left\{\begin{array}{l}h（{x_1}）＞f（{x_0}）（x_1^2-{x_1}）\\ h（{x_2}）＜f（{x_0}）（x_2^2-{x_2}）\end{array}\right.$，即可证明x₁+x₂＞1．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=\frac{x-1-lnx}{{{{（x-1）}^2}}}$，
设g（x）=x-1-lnx，
则$g'（x）=1-\frac{1}{x}$，
∴当x∈（0，1）时，g'（x）＜0，
∴g（x）＞g（1）=0，
∴f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，1）上单调递增．                                   
（Ⅱ）h（x）=x²lnx-ax²+ax（a＜0），
∴h'（x）=2xlnx+x-2ax+a，
∴h''（x）=2lnx-2a+3，
∴h''（x）在（0，+∞）上单调递增，
当x→0时，h''（x）＜0，h''（1）=3-2a＞0，
∴必存在α∈（0，1），使得h''（x）=0，即2lnα-2a+3=0，
∴h'（x）在（0，α）上单调递减，在（α，+∞）上单调递增，
又h'（α）=a-2α＜0，h'（1）=1-a＞0，
设h'（x₀）=0，则x₀∈（0，1），
∴h（x）在（0，x₀）上单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增，
又h（1）=0，不妨设x₁＜x₂，则0＜x₁＜x₀，x₀＜x₂＜1，
由（Ⅰ）知$\left.\begin{array}{l}f（{x_1}）＜f（{x_0}）\\ f（{x_2}）＞f（{x_0}）\end{array}\right\}⇒\left\{\begin{array}{l}h（{x_1}）＞f（{x_0}）（x_1^2-{x_1}）\\ h（{x_2}）＜f（{x_0}）（x_2^2-{x_2}）\end{array}\right.$，
∴$f（{x_0}）（x_2^2-{x_2}）＞h（{x_2}）=h（{x_1}）＞f（{x_0}）（x_1^2-{x_1}）$，
∴$（x_2^2-{x_2}）-（x_1^2-{x_1}）=（{x_2}-{x_1}）（{x_2}+{x_1}-1）＞0$，
∴x₁+x₂＞1．

点评 本题考查了函数和单调性和导数的关系以及方程的根与1的关系，考查了分析问题，解决问题的能力，属于中档题．