Question

5．已知函数f（x）=-x³-mx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$（m＜0），g（x）=-e^-x-1+1（其中e为自然对数的底数）．
（1）当实数m为何值时，直线y=2x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$与曲线y=f（x）相切；
（2）记函数h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），（f（x）≤g（x））}\\{g（x），（g（x）＜f（x））}\end{array}\right.$x∈R，当m＞-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，试讨论函数h（x）的零点个数．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，设出切点（t，-t³-mt+$\frac{\sqrt{2}}{2}$），可得切线的斜率，由切线的方程，可得m，t的方程，解得m=-2；
（2）由g（x）=0，解得x=-1，代入检验成立；由y=f（x）与x轴相切，求得m的值，讨论当-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜m＜-$\frac{3}{2}$时，当m=-$\frac{3}{2}$时，当-$\frac{3}{2}$＜m＜0时，结合三次函数的极值和f（0）＞0，即可得到零点的个数．

解答 解：（1）函数f（x）=-x³-mx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$的导数为f′（x）=-3x²-m，
设切点为（t，-t³-mt+$\frac{\sqrt{2}}{2}$），可得切线的斜率为-3t²-m，
由切线方程y=2x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得-3t²-m=2，-t³-mt+$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2t+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得t=0，m=-2，
则有实数m为-2时，直线y=2x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$与曲线y=f（x）相切；
（2）g（x）=-e^-x-1+1为R上的增函数，且有g（-1）=0，
当g（x）＜f（x），即-e^-x-1+1＜-x³-mx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，代入x=-1，
可得-1+1＜1+m+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即有m＞-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$成立；
当g（x）≥f（x），即有-e^-x-1+1≥-x³-mx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由f（x）的图象与x轴相切，可得f′（x）=0，
即有-3x²-m=0，又-x³-mx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$=0，
解得m=-$\frac{3}{2}$，
则当-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜m＜-$\frac{3}{2}$时，f（0）＞0，f（x）=0有两个负根，一个正根，共3个不等的实根；
当m=-$\frac{3}{2}$时，f（x）与x轴相切，可得f（x）=0有1个负根，1个正根，共2个不等的实根；
当-$\frac{3}{2}$＜m＜0时，f（x）=0有1个正根．
综上可得，当-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜m＜-$\frac{3}{2}$时，h（x）有4个零点；
当m=-$\frac{3}{2}$时，h（x）有3个零点；
当-$\frac{3}{2}$＜m＜0时，h（x）有2个零点．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查函数零点的判断，注意运用分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．