Question

20．数列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{n{a}_{n}}{（n+1）（n{a}_{n}+1）}$（n∈N₊），则数列{a_n}的前2016项的和为$\frac{2016}{2017}$．

Answer 1

分析 将所给等式移项、取倒数，设b_n=$\frac{1}{n{a}_{n}}$，运用等差数列的定义和通项公式，可得a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，再由数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理，即可得到所求和．

解答 解：a_n+1=$\frac{n{a}_{n}}{（n+1）（n{a}_{n}+1）}$，可得（n+1）a_n+1=$\frac{n{a}_{n}}{n{a}_{n}+1}$，
即有$\frac{1}{（n+1）{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n{a}_{n}}$+1，
设b_n=$\frac{1}{n{a}_{n}}$，则b_n+1=b_n+1，
可得数列{b_n}为首项为2，公差为1的等差数列，
即有b_n=2+n-1=n+1，
可得a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
数列{a_n}的前2016项的和为1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$=1-$\frac{1}{2017}$=$\frac{2016}{2017}$．
故答案为：$\frac{2016}{2017}$．

点评 本题考查数列的求和方法：裂项相消求和，同时考查等差数列的通项公式和运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．