Question

8．设动点P，Q的坐标分别为（a，b），（c，d）且满足c=3a+2b+1，d=a+4b-3，如果点P在直线l上移动，点Q也在直线l上移动，这样的直线l是否存在？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 设直线l的方程为mx+ny+p=0，分别代入点的坐标，再根据c=3a+2b+1，d=a+4b-3，利用斜率，得到m，n，p的关系，即可求出直线方程．

解答 解：这样的直线是存在的，
理由如下：设直线l的方程为mx+ny+p=0，依题意 ma+nb+p=0，①，
m（3a+2b+1）+n（a+4b-3）+p=0，②，
②变为（3m+n）a+（2m+4n）b+m-3n+p=0．③，
①、③表示同一条直线，
∴$\frac{3m+n}{m}$=$\frac{2m+4n}{n}$=$\frac{m-3n+p}{p}$．
由前者，3mn+n²=2m²+4mn，即 2m²+mn-n²=0，∴m=-n，或m=$\frac{n}{2}$
 把m=-n代入后者，得2=$\frac{-4n+p}{p}$，即p=4n．
把m=$\frac{n}{2}$代入后者，得5=$\frac{-2.5n+p}{p}$，即p=-$\frac{5n}{8}$．
∴l的方程为x-y-4=0，或4x+8y-5=0．

点评 本题考查了直线方程以及直线共线的问题，关键是构造方程，利用斜率，属于中档题．