Question

18．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=1，AC=2，$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$，DE的延长线交CA的延长线于点F，则$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AF}$的值为$-\frac{4}{9}$．

Answer 1

分析 由题意建立如图所示的平面直角坐标系，结合已知求出D、F的坐标，进一步求得$\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{AF}$的坐标，则答案可求．

解答 解：如图，
分别以AC、AB所在直线为x、y轴建立平面直角坐标系，
则A（0，0），C（2，0），B（0，1），
∵$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$，
∴E（0，$\frac{1}{3}$），
又$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$，得D（$\frac{2}{3}，\frac{2}{3}$），
设F（m，0），则$\overrightarrow{DE}=（-\frac{2}{3}，-\frac{1}{3}）$，$\overrightarrow{EF}=（m，-\frac{1}{3}）$，
由$\overrightarrow{DE}∥\overrightarrow{EF}$，得$-\frac{2}{3}×（-\frac{1}{3}）+\frac{m}{3}=0$，即m=$-\frac{2}{3}$．
∴$\overrightarrow{AD}=（\frac{2}{3}，\frac{2}{3}），\overrightarrow{AF}=（-\frac{2}{3}，0）$，
则$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AF}$=$-\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=-\frac{4}{9}$．
故答案为：$-\frac{4}{9}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了数量积的坐标表示，建立平面直角坐标系简化了该题解题过程，是中档题．