Question

9．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象如图所示，则f（$\frac{2π}{3}$）=（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 1
• C． -1
• D． -$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由函数f（x）的图象经过点（0，1），可解得sinφ=$\frac{1}{2}$，结合范围|φ|＜$\frac{π}{2}$，可求φ，又函数f（x）的图象经过点（$\frac{8π}{9}$，-2），由五点作图法解得ω，可得函数解析式，进而利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可计算得解．

解答 解：∵函数f（x）=2sin（ωx+φ）的图象经过点（0，1），
∴1=2sinφ，解得sinφ=$\frac{1}{2}$，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{6}$，故f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$），
又∵函数f（x）=2sin（ωx+φ）的图象经过点（$\frac{8π}{9}$，-2），
∴-2=2sin（$\frac{8π}{9}$ω+$\frac{π}{6}$），由五点作图法解得：$\frac{8π}{9}$ω+$\frac{π}{6}$=$\frac{3π}{2}$，解得：ω=$\frac{3}{2}$，
∴f（x）=2sin（$\frac{3}{2}$x+$\frac{π}{6}$），
∴f（$\frac{2π}{3}$）=2sin（$\frac{3}{2}$×$\frac{2π}{3}$+$\frac{π}{6}$）=-1．
故选：C．

点评 本题考查由函数的部分图象确定函数的解析式，本题解题的关键是确定初相的值，这里利用代入点的坐标求出初相，属于基础题．