Question

17．如图，A₁，A₂为椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的长轴的左、右端点，O为坐标原点，S，Q，T为椭圆上不同于A₁，A₂的三点，直线QA₁，QA₂，OS围成一个平行四边形OPQR，则|OS|²+|OT|²=（　　）

• A． 5
• B． 3+$\sqrt{5}$
• C． 9
• D． 14

Answer 1

分析 不妨取Q为上顶点，则k_OS=-$\frac{\sqrt{5}}{3}$，k_OT=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，OS的方程为y=-$\frac{\sqrt{5}}{3}$x，OT的方程为y=$\frac{\sqrt{5}}{3}$x，代入椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1可得S、T的坐标，即可求出|OS|²+|OT|²．

解答 解：不妨取Q为上顶点，则k_OS=-$\frac{\sqrt{5}}{3}$，k_OT=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴OS的方程为y=-$\frac{\sqrt{5}}{3}$x，OT的方程为y=$\frac{\sqrt{5}}{3}$x，
代入椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1可得S（-$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{10}}{2}$），T（$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{10}}{2}$），
∴|OS|²+|OT|²=2×（$\frac{9}{2}$+$\frac{5}{2}$）=14，
故选：D．

点评 本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．