Question

7．已知非零向量$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow{b}$+2$\overrightarrow{c}$，|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{c}$|=1，若$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{3}$，则|$\overrightarrow{a}$|=2．

Answer 1

分析 分别计算$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$与${\overrightarrow{a}}^{2}$即可得出${\overrightarrow{a}}^{2}$=4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，代入数量积的定义式列方程解出|$\overrightarrow{a}$|．

解答 解：$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=（2$\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c}$）$•\overrightarrow{b}$=2${\overrightarrow{b}}^{2}$+2$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$=2+2$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$．
${\overline{a}}^{2}$=4${\overrightarrow{b}}^{2}$+4${\overrightarrow{c}}^{2}$+8$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$=8+8$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$，
∴${\overrightarrow{a}}^{2}$=4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，∴|$\overrightarrow{a}$|²=4|$\overrightarrow{a}$|×1×cos60°=2|$\overrightarrow{a}$|，
∵$\overrightarrow{a}$为非零向量，∴|$\overrightarrow{a}$|=2．
故答案为：2．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．