Question

13．△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，a=2，B=45°，①当b=$\sqrt{2}$时，三角形有1个解；②若三角形有两解，则b的取值范围是（2，2$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 ①由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，得$\frac{2}{sinA}=\frac{\sqrt{2}}{sin45°}$，由此能推导出三角形只有一个解．
②BC=a=2，要使三角形有两解，就是要使以C为圆心，半径为2的圆与BA有两个交点，由此利用正弦定理结合已知条件能求出b的取值范围．

解答 解：①∵△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，
a=2，B=45°，b=$\sqrt{2}$，
由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，得$\frac{2}{sinA}=\frac{\sqrt{2}}{sin45°}$，
解得sinA=1，∴A=90°，三角形只有一个解．
故答案为：1．
②BC=a=2，要使三角形有两解，就是要使以C为圆心，半径为2的圆与BA有两个交点，
当A=90°时，圆与AB相切；
当A=45°时交于B点，也就是只有一解，
∴45°＜A＜90°，即$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜sinA＜1，
由正弦定理以及asinB=bsinA．可得：b=x=$\frac{asinB}{sinA}$=$2\sqrt{2}$sinA，
∵2$\sqrt{2}$sinA∈（2，2$\sqrt{2}$）．
∴b的取值范围是（2，2$\sqrt{2}$）．
故答案为：（2，2$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查三角形的解的个数的求法，考查三角形有两解时实数值b的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理的合理运用．