Question

8．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x-3|
（1）求不等式f（x）≤6的解集；
（2）若关于x的不等式f（x）≤|a-2|的解集非空，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）利用绝对值三角不等式求得f（x）的最小值为4，再根据|a-2|≥4，求得a的范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=|2x+1|+|2x-3|，∴不等式f（x）≤6 等价于$\left\{\begin{array}{l}{x＜-\frac{1}{2}}\\{-2x-1+（3-2x）≤6}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}≤x≤\frac{3}{2}}\\{2x+1+（3-2x）≤6}\end{array}\right.$②，或$\left\{\begin{array}{l}{x＞\frac{3}{2}}\\{2x+1+2x-3≤6}\end{array}\right.$③．
解①求得-1≤x＜-$\frac{1}{2}$；解②求得-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{3}{2}$；解③求得 $\frac{3}{2}$＜x≤2．
综合可得，原不等式的解集为[-1，2]．
（2）∵f（x）=|2x+1|+|2x-3|≥|2x+1-（2x-3）|=4，则f（x）的最小值为4．
若关于x的不等式f（x）≤|a-2|的解集非空，则|a-2|≥4，a-2≥4，或 a-2≤-4，
求得a≥6，或a≤-2，
故a的范围为{a|a≥6，或a≤-2 }．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，体现了转化的数学思想，属于中档题．